アキレスと亀のパラドックス②数学的な解決法と、哲学的問題としての本質

前回の「アキレスと亀のパラドックス①無限数の点と無限回の試行回数」では、

アキレスが、亀に追いつくためには、

直前に亀がいた位置に到達するという
無限回の行為の試行が必要であり、

それは、前々回に紹介した「二分法のパラドックス」において、
走者がゴールに到達するまでに
無限数の点を通過することが必要になることと
本質的には同じ議論であることを明らかにしました。

そして、

無限回の行為の試行も、無限数の点の通過も、
有限の時間のなかでは、そのすべてを完遂することは不可能なので、

アキレスは亀に永遠に追いつくことができない

という結論が生じることになったわけです。

しかし、

もちろん、あえて言うまでもないことですが、

現実の世界では、

スタート地点からゴール地点までの距離や
アキレスと亀のスタート時点での差が

有限の距離である限り、

走者はいずれゴール地点へと到達し、
アキレスも亀に追いつくことになります。

つまり、

現実の世界で実際にかけっこをしてみると、
アキレスは亀に追いつくことになるが、

ゼノンのパラドックスの世界では、
アキレスは永遠に亀に追いつけない

という

アキレスと亀のかけっこ勝負という同一の事象について、
相異なる二つの結論が生じてしまっているということです。

そこで、

この相異なる結論へと至る二つの論理は、
互いにどのような関係にあると言えるのか？

ということについて、

今回から次回にかけての二回にわたって
考えていきたいと思います。

アキレスと亀のパラドックスの数学的な解決法

パラドックスを解消するための答えとして、

この問題を、
アキレスが亀に実際に何秒後に追いつくのか？
それとも追いつかないのか？

という問題として捉え、それに対して数学的な答えを出すのは
至極簡単な議論となります。

例えば、

アキレスは俊足とされているので、
カール・ルイス並に、100mを10秒で走り続けていくとして、

鈍足の亀にも頑張ってその10分の1の速度で走ってもらうとし、

両者のスタート時点での距離の差を100mとすると、

アキレスが秒速10mで、
亀が秒速1m、
両者のスタート時の差は100mとなるので、

アキレスが亀に追いつくのをx秒後とすると、

アキレスが何秒後に亀に追いつくことになるのか？
ということを表す計算式は、

10(m/s) ×　x(s)　＝　100(m)　＋　1(m/s)　×　x(s)

（アキレスの秒速）（x秒後）（スタート時）（亀の秒速）（x秒後）

の距離の差

となり、この式を解くと、以下のようになります。

10(m/s)×x(s) =100(m)＋1(m/s)×x(s)

10x(m) =100(m)+x(m)

10x =100+x

9x =100

x =11.11111…

よって、アキレスは亀に11.11111…秒後に追いつくことになり、

少なくても、11.2秒後には優に亀を追い越している
という結論となります。

無限の運動の和としての無限級数

ゼノンの議論にしたがって、このかけっこ勝負を
アキレスが亀に追いつく無限の運動の和として捉えた場合も、
数学的な議論としては同じ結論となります。

アキレスが亀に追いつくまでの時間を、
アキレスが直前の亀の位置にたどり着くのにかかる
時間の総和として捉えた場合、

はじめに、アキレスは、
亀のスタート時点の位置を目指すことになるので、

最初に亀がいた位置にアキレスがたどり着くのにかかる時間は、
亀とアキレスのスタート時点での
距離の差100mをアキレスの秒速10ｍで割ればよく、
100(m)÷10(m/s)＝10(s)
すなわち、10秒かかることになります。

その間に、亀も10秒分先に進んで、
1(m/s)×10(s)=10m先にいることになるので、

次に、アキレスが直前の亀の位置にたどり着くのにかかる時間は、
10(m)÷10(m/s)＝1(s)で、1秒かかることになります。

その間に亀も1秒分先に進んで、
1(m/s)×1(s)=1m先にいることになるので、

その次に、アキレスが直前の亀の位置にたどり着くのにかかる時間は、
1(m)÷10(m/s)＝0.1(s)で、0.1秒かかることになる

というように、

アキレスが直前の亀の位置にたどり着くのにかかる時間の総和xは、

x=10+1+0.1+0.11+0.111+0.1111+0.11111…

という

無限級数（項の数が無限にある数列の各項を順に加法記号（＋）で結んだもの）
によって示すことができます。

そして、この無限級数の和は、
上記の式を見れば一目瞭然の通り、

x=11.11111…

という前章における計算式の帰結と一致することになるので、

アキレスが亀に追いつくことを無限の運動の和として捉えた場合も、
数学的な議論としては、

少なくとも、11.2秒後にはアキレスは亀を追い越している
という結論は変わらない

ということになるのです。

有限と無限、相反する二つの論理の関係性についての問い

しかし、以上のように、

ゼノンのパラドックスを解消するための手段として、

ゼノンと亀の移動速度と、
スタート時点における両者の距離の差を具体的に規定し、

かれこれの条件のもとでは、
x秒後にアキレスが亀を追い越すことになる

というような数学的な答えを提示することは、
おそらくあまり有意義な議論ではありません。

なぜならば、

ゼノン自身も、
実際に現実の世界ではアキレスが亀を追い越すことになるのは
百も承知のうえで、

それでもなお、

論理の世界では、アキレスが亀に追いつくためには、
亀との間に生じる無限の点を通過しなければならないはずであり、
無限の点を通過することは有限の時間では不可能なはずなのに、

実際の運動においては、
アキレスが亀に追いつき、追い越すことが可能になってしまうのは
いったいなぜなのか？

ということを問うていると考えられるからです。

この場合、そもそも問題となっているのは、

現実の世界において、アキレスが亀に追いつき追い越すことができるのか？
という事実についての問いではなく、

現実の世界の論理においては、
アキレスは亀に追いつき、追い越すことができるのに、

もう一方のゼノンのパラドックスの論理においては、
アキレスは永遠に亀に追いつけないという帰結が生じてしまうのはなぜなのか？

という相異なる結論へと至る
二つの論理の関係性についての問いである

ということです。

そして、この問い、すなわち、

アキレスと亀のかけっこという同一の事象において、

有限の距離である、亀との差を
アキレスが追いつき、追い越すことができることと、

アキレスと亀の間で無限分割されていく無限数の点を
アキレスがすべて通過しきることができないという

相反するように見える二つの論理がどのような関係にあるのか？

という問いにこそ、
「アキレスと亀」というゼノンのパラドックスにおける
論理的・哲学的問題の本質があると考えられるのです。

そこで、次回は、

「アキレスと亀のパラドックス」は、
哲学的な観点からどのように解決され、

相反するように見える両者の論理は、
どのようにして調停されることになるのか？

ということを明らかにしていきたいと思います。

・・・

このシリーズの前回記事：
アキレスと亀のパラドックス①無限数の点と無限回の試行回数

このシリーズの次回記事：
アキレスと亀のパラドックス③無限に細かくちぎれるパンの話

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